var=$((var + 1))

La aritmética en bash utiliza la sintaxis $((...)).

Varias opciones para incrementar en 1 y análisis de rendimiento

Gracias a la respuesta de Radu Rădeanu que proporciona las siguientes formas de incrementar una variable en bash:

var=$((var+1))
((var=var+1))
((var+=1))
((var++))
let "var=var+1"
let "var+=1" 
let "var++"

También hay otras formas. Por ejemplo, mira en las otras respuestas a esta pregunta.

let var++
var=$((var++))
((++var))
{
    declare -i var
    var=var+1
    var+=1
}
{
    i=0
    i=$(expr $i + 1)
}

Tener tantas opciones lleva a estas dos preguntas:

1. ¿Existe alguna diferencia de rendimiento entre ellas?
2. Si es así, ¿cuál es la que tiene mejor rendimiento?

Código de prueba de rendimiento incremental:

#!/bin/bash

# Para centrarnos exclusivamente en el rendimiento de cada tipo de instrucción de incremento
# deberíamos excluir la ejecución de bucles while de bash de la medición de rendimiento. Por lo tanto, vamos a cronometrar scripts individuales
# que incrementan $i a su manera única.

# Declarar i como un entero para las pruebas 12 y 13.
echo > t12 'declare -i i; i=i+1'
echo > t13 'declare -i i; i+=1'
# Configurar i para la prueba 14.
echo > t14 'i=0; i=$(expr $i + 1)'

x=100000
while ((x--)); do
    echo >> t0 'i=$((i+1))'
    echo >> t1 'i=$((i++))'
    echo >> t2 '((i=i+1))'
    echo >> t3 '((i+=1))'
    echo >> t4 '((i++))'
    echo >> t5 '((++i))'
    echo >> t6 'let "i=i+1"'
    echo >> t7 'let "i+=1"'
    echo >> t8 'let "i++"'
    echo >> t9 'let i=i+1'
    echo >> t10 'let i+=1'
    echo >> t11 'let i++'
    echo >> t12 'i=i+1'
    echo >> t13 'i+=1'
    echo >> t14 'i=$(expr $i + 1)'
done

for script in t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14; do
    line1="$(head -1 "$script")"
    printf "%-24s" "$line1"
    { time bash "$script"; } |& grep user
    # Dado que stderr se está tuberizando a grep arriba, esto confirmará
    # que no hay errores al ejecutar el comando:
    eval "$line1"
    rm "$script"
done

Resultados:

i=$((i+1))              user    0m0.992s
i=$((i++))              user    0m0.964s
((i=i+1))               user    0m0.760s
((i+=1))                user    0m0.700s
((i++))                 user    0m0.644s
((++i))                 user    0m0.556s
let "i=i+1"             user    0m1.116s
let "i+=1"              user    0m1.100s
let "i++"               user    0m1.008s
let i=i+1               user    0m0.952s
let i+=1                user    0m1.040s
let i++                 user    0m0.820s
declare -i i; i=i+1     user    0m0.528s
declare -i i; i+=1      user    0m0.492s
i=0; i=$(expr $i + 1)   user    0m5.464s

Conclusión:

Al parecer, bash es más rápido al realizar i+=1 cuando $i se declara como un entero. Las declaraciones let parecen ser particularmente lentas, y expr es por mucho la más lenta porque no está integrada en bash.

También está esto:

var=`expr $var + 1`

Toma nota cuidadosa de los espacios y también ` no es '

Aunque las respuestas de Radu, y los comentarios, son exhaustivos y muy útiles, son específicos de bash. Sé que específicamente preguntaste sobre bash, pero pensé en opinar ya que encontré esta pregunta cuando estaba buscando hacer lo mismo usando sh en busybox bajo uCLinux. Esto es portable más allá de bash.

Si declaras $var como un entero, entonces lo que intentaste la primera vez realmente funcionará:

$ declare -i var=5
$ echo $var
5
$ var=$var+1
$ echo $var
6

Referencia: Tipos de variables, Guía de Bash para principiantes